Liniowa zależność i niezależność funkcji
Definicja 1: Liniowej zależności zbioru funkcji
Mówimy, że zbiór funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t) \hskip 0.3pc \) określonych na przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset\mathbb{R}\hskip 0.3pc \) jest liniowo zależny, jeżeli istnieją stałe \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots ,c_n \hskip 0.3pc \) nie wszystkie równe zero, takie że \( \hskip 0.3pc c_1f_1(t)+\cdots +c_nf_n(t)=0\hskip 0.3pc , \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \).
Definicja 2: Liniowej niezależności zbioru funkcji
Mówimy, że zbiór funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) określonych na przedziale \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny. Inaczej mówiąc, równość \( \hskip 0.3pc c_1f_1(t)+\cdots +c_nf_n(t)=0\hskip 0.3pc \) zachodzi dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) jedynie w przypadku, gdy wszystkie współczynniki \( \hskip 0.3pc c_i, \hskip 0.3pc i=1,\dots,n\hskip 0.3pc \) są równe zero.
Uwaga 1:
Z liniowej zależności funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) wynika, że jedną z nich można przedstawić jako kombinację pozostałych. Na przykład: jeśli \( \hskip 0.3pc c_1\neq 0,\hskip 0.3pc \) to
Stąd wynika, że dwie funkcje \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc f(t)=cg(t)\hskip 0.3pc \).
Przykład 1:
Funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=t,\hskip 0.3pc f_2(t)=t^2,\hskip 0.3pc f_3(t)=4t-3t^2\hskip 0.3pc \) określone na \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne.
Istotnie jeśli weżmiemy \( c_1=-4,\hskip 0.3pc c_2=3,\hskip 0.3pc c_3=1, \) to otrzymamy tożsamość
Przykład 2:
Pokażemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=1,\hskip 0.3pc f_2(t)=t,\hskip 0.3pc f_3(t)=t^2\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.
Należy zatem pokazać, że następująca tożsamość
zachodzi jedynie w przypadku gdy \( \hskip0.3pc c_1=c_2=c_3=0 \).
Z równości ( 1 ) dla \( \hskip 0.3pc t=0,\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc c_1=0\hskip 0.3pc \). Uwzględniając, że \( \hskip 0.3pc c_1=0\hskip 0.3pc \) i podstawiając do równości ( 1 ) za \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) kolejno \( \hskip 0.3pc -1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc 1,\hskip 0.3pc \) otrzymujemy następujący układ równań
którego jedynym rozwiązaniem jest \( \hskip 0.3pc c_2=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_3=0,\hskip 0.3pc \) co kończy dowód liniowej niezależności.
ZAŁOŻENIA:
Zakładamy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) określone na przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) są \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) krotnie różniczkowalne i wyznacznik
nie jest równy zero przynajmniej dla jednego \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) z przedziału \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \).
TEZA:
Wtedy funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne. Powyższy wyznacznik będziemy oznaczać \( \hskip 0.3pc W(f_1(t),\ldots,f_n(t))\hskip 0.3pc \) i nazywać Wrońskianem, inaczej wyznacznikiem macierzy Wrońskiego.
DOWÓD:
Dowód twierdzenia podamy w przypadku, gdy \( \hskip 0.3pc n=2.\hskip 0.3pc \) Dla większych \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) dowód jest podobny.
Zakładamy, że istnieje \( \hskip 0.3pc t_0\in I,\hskip 0.3pc \) dla którego \( \hskip 0.3pc W(f_1(t_0),f_2(t_0))
\neq 0.\hskip 0.3pc \)
Dla dowodu nie wprost zakładamy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f_2(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne. To oznacza, że istnieją stałe \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2\hskip0.3pc \) jednocześnie nie równe zero takie, że dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) zachodzi równość
Różniczkując stronami równość ( 3 ) dostajemy
Dla \( \hskip 0.3pc t=t_0,\hskip 0.3pc \) z równości ( 3 ) i ( 4 ) otrzymujemy układ równań
o niewiadomych \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc \) dla którego wyznacznik \( \hskip 0.3pc W(f_1(t_0),\,f_2(t_0))
\neq 0.\hskip 0.3pc \)
Zatem układ ten posiada jedynie rozwiązanie zerowe \( \hskip 0.3pc c_1=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2=0,\hskip 0.3pc \) co jest sprzeczne z założeniem, że \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc \) nie są jednocześnie równe zero.
Wniosek 1:
Jeżeli funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) są \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \)- krotnie różniczkowalne na \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) i są liniowo zależne, to \( \hskip 0.3pc W(f_1(t),\ldots,f_n(t))=0,\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I.\hskip 0.3pc \)
Uwaga 2:
Z tego, że wrońskian dla funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) jest równy zero dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) nie wynika, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne. Na przykład: funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=t^2,\hskip 0.3pc f_2(t)=t|t|\hskip 0.3pc \) są różniczkowalne w \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc W(f_1(t),f_2(t))=0,\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \). Funkcje te są liniowo niezależne, ponieważ nie istnieje \( \hskip 0.3pc c\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) takie, że \( \hskip 0.3pc f_1(t)=cf_2(t),\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb{R} \) .
Przykład 3:
Pokażemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=e^{2t},\hskip 0.3pc f_2(t)=te^{2t}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f_3(t)=e^t\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne. W tym celu obliczamy ich wrońskian
Stąd, na mocy twierdzenia 1, funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=e^{2t},\hskip 0.3pc f_2(t)=te^{2t}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f_3(t)=e^t\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.
Przykład 4:
Pokażemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=\sin t, f_2(t)=\cos t, f_3(t)=\sin(t+\frac{\pi}{6})\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne.
Ponieważ \( \hskip 0.3pc f_3(t)=\sin(t+\frac{\pi}{6})=\sin t\cos \frac{\pi}{6} +\cos t\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt 3}{2}\sin t+\frac{1}{2}\cos t=\frac{\sqrt3}{2}f_1(t)+\frac{1}{2}f_2(t),\hskip 0.3pc \) zatem \( \hskip 0.3pc \frac{\sqrt 3}{2}f_1(t)+\frac{1}{2}f_2(t)-f_3(t)=0\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in\mathbb{R} \).
I-sposób:
Należy pokazać prawdziwość następującej implikacji:
Wynika ona bezpośrednio z faktu, że wielomian niezerowy o współczynnikach rzeczywistych stopnia \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) ma co najwyżej \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) różnych pierwiastków rzeczywistych. Ponieważ wielomian \( \hskip 0.3pc c_01+c_1t+\cdots +c_nt^n\hskip 0.3pc \) ma nieskończenie wiele pierwiastków więc musi być wielomianem zerowym, czyli wszystkie jego wspóczynniki są równe zero.
II-sposób:
Ponieważ wrońskian funkcji \( 1,\hskip 0.3pc t,\:t^2,\ldots ,t^n \) :
jest różny od zera, więc liniowa niezależność funkcji wynika z twierdzenia 1.
Z przykładu 5 wynika, że funkcje \( \hskip 0.3pc e^{\lambda},\hskip 0.3pc te^{\lambda},\:t^2e^{\lambda},\ldots ,t^ne^{\lambda}\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.
są liniowo niezależne.
Jeżeli weźmiemy liniową kombinację tych funkcji i przyrównamy ją do zera
a w miejsce \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) podstawimy \( \hskip 0.3pc t_k=\frac{\pi(4k+1)}{2\alpha},\hskip 1pc (k\in \mathbb{Z})\hskip 0.3pc \) wówczas \( \hskip 0.3pc \sin(\alpha t_k)=1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \cos(\alpha t_k)=0.\hskip 0.3pc \) Zatem
równość ta zachodzi, gdy \( \hskip 0.3pc c_0=c_1=\cdots =c_n=0,\hskip 0.3pc \) ponieważ niezerowy wielomian \( \hskip 0.3pc c_01+c_1t+\cdots +c_nt^n\hskip 0.3pc \) może mieć co najwyżej \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) różnych pierwiatków rzeczywistych.
Analogicznie, jeżeli w tożsamości ( 5 ) w miejsce \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) podstawimy \( \hskip 0.3pc \tilde t_k=\frac{2\pi k}{\alpha},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (k\in \mathbb{Z}),\hskip 0.3pc \) dla których \( \hskip 0.3pc \sin(\alpha \tilde t_k)=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \cos(\alpha \tilde t_k)=1,\hskip 0.3pc \) to otrzymujemy równość
a ta zachodzi, gdy \( \hskip 0.3pc d_0=d_1=\cdots =d_n=0\hskip 0.3pc \) i to kończy dowód liniowej niezależności danego zbioru funkcji.
Z przykładu 6 wynika, że funkcje
są liniowo niezależne.
W celu pokazania liniowej niezależności powyższych funkcji, liczymy ich wrońskian
Ostatni wyznacznik w powyższej równości liczymy następująco: mnożymy \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc \)-ty wiersz przez \( \hskip 0.3pc \lambda _1\hskip 0.3pc \) i odejmujemy od \( \hskip 0.3pc i+1\hskip 0.3pc \) wiersza, \( \hskip 0.3pc i=1,\ldots ,n-1\hskip 0.3pc \) i następnie korzystamy z własności wyznacznika
Mnożąc teraz w ostatnim wyznaczniku w powyższej równości \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc \)-ty wiersz przez \( \hskip 0.3pc \lambda_2\hskip 0.3pc \) i odejmując od \( \hskip 0.3pc i+1\hskip 0.3pc \) wiersza, \( \hskip 0.3pc i=1,\ldots ,n-2,\hskip 0.3pc \) otrzymamy analogicznie, jak powyżej, następującą zależność:
Postępując tak dalej otrzymamy
Stąd wynika, że \( \hskip 0.3pc W(e^{\lambda _1 t},\ldots ,e^{\lambda _n t})\neq 0\hskip 0.3pc \) i kończy to dowód liniowej niezależności funkcji \( \hskip 0.3pc e^{\lambda _1 t},\hskip 0.3pc e^{\lambda _2 t},\ldots ,e^{\lambda _n t} \).